纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是五种比较松散的数据价值形式。它有这一 节点(vertice),在这一 节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也总出 过,亲戚亲戚当我们都都通常在节点中储存数据。边表示二个 节点之间的发生关系。在树中,亲戚亲戚当我们都都用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是五种特殊的图,但限制性更强这一 。

随后的五种数据价值形式是很常见的。比如计算机网络,什么都 由这一 节点(计算机可能性路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也还可都能否能理解为图,地铁站还可都能否能认为是节点。基于图有这一 经典的算法,比如求图中二个 节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问提(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市富含每根河流过,河富含二个 小岛。有七座桥桥连接河的两岸和二个 小岛。送信员总想知道,有如此二个 辦法 ,能不重复的走过7个桥呢?

(这一 问提在这一 奥数教材中称为"一笔画"问提)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的还可都能否能看作由7个边和二个 节点构成的二个 图:

这一 问提最终被欧拉巧妙的正确处理。七桥问提也启发了一门新的数科学学科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能性某个节点都在起点可能性终点,如此连接它的边的数目可都能否能为偶数个(从二个 桥进入,再从随后桥选泽离开)。对于柯尼斯堡的七桥,可能性二个 节点都为奇数个桥,而最多不到有二个 节点为起点和终点,什么都可能性性一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。二个 图的所有节点构成二个 集合[$V$]。二个 边还可都能否能表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即二个 节点。可能性[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,如此图是有向的(directed)。有序的边还可都能否能理解为单行道,不到沿二个 方向行进。可能性[$(v_1, v_2)$]无序,如此图是无向的(undirected)。无序的边还可都能否能理解成双向都还可都能否能行进的道路。二个 无序的边还可都能否能看作连接相同节点的二个 反向的有序边,什么都无向图还可都能否能理解为有向图的五种特殊请况。

(七桥问提中的图是无向的。城市中的公交线路还可都能否能是无向的,比如发生单向环线)

图的二个 路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也什么都 说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为二个 节点。路径上面的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,亲戚亲戚当我们都都会在选泽某个路径,来从A站到达B站。随后的路径可能性有不止每根,亲戚亲戚当我们都都往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤请况,来选泽每根最佳的路线。可能性发生每根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,如此认为该图中发生环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中发生环路。

 

找到每根环路

可能性从每个节点,到任意二个 其它的节点,都在每根路径一段话,如此图是连通的(connected)。对于二个 有向图来说,随后的连通称为强连通(strongly connected)。可能性二个 有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,如此认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能性将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,随后的图可能性是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间如此路径相连。

图的实现

五种简单的实现图的辦法 是使用二维数组。让数组a的每一行为二个 节点,该行的不同元素表示该节点与这一 节点的连接关系。可能性[$(u, v) \in E$],如此a[u][v]记为1,有随后 为0。比如下面的二个 富含二个 节点的图:

 

还可都能否能简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

这一 实现辦法 所发生的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而如此快增多。可能性边都在很密集,如此什么都数组元素记为0,不到稀疏的这一 数组元素记为1,什么都并都在很经济。

更经济的实现辦法 是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,亲戚亲戚当我们都都建立二个 链表。对于任意节点k,可能性有[$(m, k) \in E$],就将该节点塞进 到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准辦法 。比如下面的图,

 

还可都能否能用如下的数据价值形式实现:

 

左侧为二个 数组,每个数组元素代表二个 节点,且指向二个 链表。该链表包富含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表还可都能否能分为两累积。邻接表所发生的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组累积储存节点信息,发生[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,发生[$|E|$]的空间,即边的总数。在这一 比较复杂的问提中,定点和边还可能性有这一 的附加信息,亲戚亲戚当我们都都还可都能否能将哪几种附加信息储发生相应的节点可能性边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上面的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是五种很简单的数据价值形式。图的组织辦法 比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法比较复杂度。我将在随后介绍这一 图的经典算法。

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